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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ndRz_@R]  
&Bj3Z 7iL  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. u] *<6kr  
d9c\WM  
　　1、三角函数本质： i! N;_j  
S_y|';?h  
　　三角函数的本质来源于定义 + eQ60yD  
w\M/+Q'\h  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 QeVxVobhEN  
NH,Pwm<  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 k`L !D) }  
)X pbPtSB2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： mIH35BFW  
7 pL35@^+  
　　推导： z /r`Tb  
WK=JQ/rej  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 JoHhB)p  
hm J`O(  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) c3 WI($i  
Pw)% v  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) .c|`8-Gfp  
Tg)K.V}*]t  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 N!6vJS0dr  
AO\/0[K8sy  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） U`{,H4//  
As6mY CJY  
　　[1] B<F0<!)@'  
V+a}0R  
　　两角和公式 URkT}?4?,}  
~3QP ="e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Op@ t?  
;$lc.o  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ~T[ MyZT  
h"RgZ|3~  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB b5PBw]<w  
M`RIV[5Ku  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB V\2J O1  
IcODku  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 'z3~A\  
*7[Ni{YT  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) e7AI9m>zHg  
>5;W0t}  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  qHlEYKA  
]Y}5/6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) JG C;4v  
-n=hP|3]  
倍角公式 3w}DBr,]  
#oxvTMg  
　　Sin2A=2SinA•CosA ]`&}oEy  
s vU@;"  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 di Ss}A]  
6`ax  m  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） &C*_B(H  
B%W=)Q"e*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?QpiQ;  
7Qjjzj1  
三倍角公式 D0BZK]  
rD5*Z0M  
　　 6&X>$)#  
" *t%\r*q  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "4)-j  
~`G-,u^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =|P<_ >  
&?7 CXBza  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) bpAmW  
/4-4{  
三倍角公式推导 P)_6"#9  
~ZbC<re  
　　sin3a PD_eu0@  
A1X ({ O  
　　=sin(2a+a) KgrYxOGq  
A3;U]~Ohd=  
　　=sin2acosa+cos2asina `\:9RQ#CK  
;g*^\1sWa  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 2ofeA ]#p  
(m=cSG84y  
　　=3sina-4sin³a FbptX]4:  
o R CkS  
　　cos3a L4>]Fu  
a>] ;P=U  
　　=cos(2a+a) :%qL}gP  
xJ'G2.4&]  
　　=cos2acosa-sin2asina ~~Ae6BX  
T>^/'nj!]  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa u|H9L?]==  
>]{Raa>:  
　　=4cos³a-3cosa _YXby'/  
PZQy3 v  
　　sin3a=3sina-4sin³a T5)@9=kF  
:dN@ uy  
　　=4sina(3/4-sin²a) A ]po5_  
b1q  dw  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] "B-q)r  
(:%&`_'_D  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) %wzcAtA  
>K];GF_  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 7ItS9]^M  
e p.tt@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 3Mt,%  
Q]$ *8:?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^Gu R j  
}; X[1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _ bi"A+ju  
+E$: 6O  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Hz&sz?n*|  
Y Q"y1ABd  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ml@>)#[  
 fPcJhqV  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) hE+,6HuS  
17JBnY  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #z?8Fy]  
#*6.,DnN#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} j:+ #o }a  
Tc2h=k!1  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) %!K7$:^R8  
GyPMqm  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *uE\~eDna{  
MxSdqO  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] F_P%>G  
`5k2h!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ZG|t`X5  
ET+#1c3 0W  
　　上述两式相比可得 [A\^TtK?  
@OE E@dH  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) zichw< 9  
|%0~G=(60H  
半角公式 0fnJf^dl  
`q~_Yr  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 1 g>wz|  
t4]Mp{dc(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %Y~;'  
N^1@khIc  
和差化积 e7w= "T|  
!J w1hy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]X-^=Mr[/W  
1i-76m<+  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O8n DOd+0  
7:to?sQi:  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] !:DZ v&x~  
LLh-?Al*~  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] YisseG!r  
?[h1hU VPZ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) .XqA3CY  
74 :>+&y$  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) eO XN4}  
o{=Vi%/<  
积化和差 T09pWYj  
ynYF2 4X  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] N/7M)me  
=!1TXn"Z  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %kh\v^'O  
c[lNLl:  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] =zlQY=_  
{O;o<)N%!  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~OY!P?j#  
]c6NAS{9lb  
诱导公式 Km eBW7,4  
J|K]s|Y3  
　　sin(-α) = -sinα o`WB?^\  
Gb#|Ch%sJ  
　　cos(-α) = cosα mAgsK)  
 no //  
　　sin(π/2-α) = cosα yVFlq`,Er  
o9tGU{k  
　　cos(π/2-α) = sinα '[b=-J5[  
<hhAMG&U1  
　　sin(π/2+α) = cosα V0fyA=pW  
%w Z g:P  
　　cos(π/2+α) = -sinα KW Q   
Mt!3n^yb  
　　sin(π-α) = sinα 'x}O0Jj\ [  
H=wk5  
　　cos(π-α) = -cosα pO2(tp[z  
LrK@~4:E  
　　sin(π+α) = -sinα _wyBWJTI4  
H"hSF_Db=  
　　cos(π+α) = -cosα !Z2eJRQZ  
NOK~!  
　　tanA= sinA/cosA ;72[K1 `n  
?$ymUF4  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \Ms$[z\lx  
+S Q]  
　　tan（π/2－α）＝cotα iPgRohf;  
ySv(}s  
　　tan（π－α）＝－tanα R~MdV@2  
\Mf&  
　　tan（π＋α）＝tanα Uoec^R7J  
ea7+C*cCb  
万能公式 D!U6vh_  
atx7WLz X  
　　 Z9s-L!1  
V3Rq Q,f  
其它公式 @<XwE/-2;  
PqU74&-re0  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 CgGa<vq.4  
Yx|P~ML  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 &_/q IH  
IwN O.6Y)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 qz FZq K  
u`/W}M?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `\Os\fnY  
.b4na.!{  
　　对于任意非直角三角形,总有 &j9CQ*B  
U myLfjav  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {Eqe.)4tK  
 8/Y&  
　　证: >J\mx=Xv  
86Fc$*7  
　　A+B=π-C dK^ad 7pH  
52~RU!!<  
　　tan(A+B)=tan(π-C) !w%=q0dGd  
pKyYV"~xr  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) $WO\1  
ztrQ a} $  
　　整理可得 E.?Va16:  
5~N~%,-s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %( 'uU=B  
-0-l'   
　　得证 FsTwieg  
=A\+=k2J  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 &c}kL*[$=S  
zF4^Q&;  
其他非重点三角函数 5{`H{  
Szk9c<rG&/  
　　csc(a) = 1/sin(a) "@a/>CP  
LqGr4 0  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5kA?1iF)o  
g@0n=  
　　 1cyE}\  
Fv3U:gr  
双曲函数 -bEw<:k<W  
*rJ%k  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \urUCh ba  
yTQRPh  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0l-69m-Zj  
TJSC=/ljp  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) c%qP=%.Xk  
IuyHAY>  
　　公式一： &*M/6MQt  
(IQmj(1a<  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：  #lfcL?>h  
!gL&Q}$ko  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Z-z?@B.N;  
_XwDoZhy  
　　cos（2kπ＋α）= cosα _m Uk8:x  
zl 0Uvv  
　　tan（kπ＋α）= tanα \ b 6eL~  
*a|)6=p  
　　cot（kπ＋α）= cotα =>(H 1Kur  
:I_E9'(`  
　　公式二： ^+Y5[ `C  
,K=CIdo  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： AX&|["1XA  
2w8vz( I  
　　sin（π＋α）= -sinα )e:#  
Wv`5^k%  
　　cos（π＋α）= -cosα "X`Vn>ug  
i& /_h:N  
　　tan（π＋α）= tanα C0><)t8  
zCbR>O(  
　　cot（π＋α）= cotα {P H<]  
-:-H&51z  
　　公式三： ,G5j@z<h  
MIWYs?  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： yAE4<V2r  
''Ax0>9FD  
　　sin（-α）= -sinα m)~a?j1  
z3w &(  
　　cos（-α）= cosα E"]&]!  
.6 zmD;D  
　　tan（-α）= -tanα O+1lJ!1  
N TjMdoBc  
　　cot（-α）= -cotα x|Q3>   
V,J7}?P5B  
　　公式四： m\%[8b+  
q <f}/EE?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  /xGPyb  
$kNb 800Z  
　　sin（π-α）= sinα $/zbKoL  
W<)6\txAh  
　　cos（π-α）= -cosα ;Td3Nc+  
kUtvh3G  
　　tan（π-α）= -tanα _1~MWQ  
nO"0 ~\D#  
　　cot（π-α）= -cotα cG5i@P3|  
oU"p8B[$d  
　　公式五： y<T!<GV F  
;+ TTM3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： oW' >n&  
7W"ALkmD/  
　　sin（2π-α）= -sinα z ?[]yt  
j*m6GwHt  
　　cos（2π-α）= cosα ks'SRSp6  
[Q-3Q'tj  
　　tan（2π-α）= -tanα J}]S |^pf  
dxnCx 5  
　　cot（2π-α）= -cotα u$&;s}5"p*  
uz?;~j*g  
　　公式六： N=k^j>#^9  
b;"#<}x  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :y${ ,[`SO  
;-V4\n3*v  
　　sin（π/2+α）= cosα Ex<w/|sb  
Av]VJZ:BX  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5@Z T*b^  
Ot_#0|aC  
　　tan（π/2+α）= -cotα C^Rbz+&;s  
!6r`  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9>H, eqI  
M[l?P^#2$  
　　sin（π/2-α）= cosα 2]eYK8R  
x)%dX!;Ov  
　　cos（π/2-α）= sinα *6C{\j/$A  
-bUds%oc  
　　tan（π/2-α）= cotα ; j;e Sb  
G03t#t-  
　　cot（π/2-α）= tanα ]'Ai3   
Z~ {`%(G  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `u5tUg2&8a  
Qh9;b:e7\  
　　cos（3π/2+α）= sinα @WS/ Em  
R`&hnf1'b  
　　tan（3π/2+α）= -cotα g R- u,Z  
_ {DjIt  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Dkbb-k3r  
'e,%%HhV I  
　　sin（3π/2-α）= -cosα <GH(J5r  
:h vM)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα VUWX/^&|K  
Qhl?vz  
　　tan（3π/2-α）= cotα  JMP  
Vj I!3Xwu  
　　cot（3π/2-α）= tanα M__^i7#I\  
EG?$3c  
　　(以上k∈Z) (&#{3K[  
?{u=dC{]  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &B3o?R5vK  
U )x  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = v@p Y%B\x{  
avs]IiT~o  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } PCE-X&".  
{.-p<66M3)  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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